La forma más estándar de "shuffle" en secuencias musicales de 4/4 es la que consiste en retrasar una cantidad de tiempo determinada (milisegundos) la segunda y la cuarta semicorchea después de cada negra:
*----.----.----.----*----.----.----.----*----.----.----.----*----.----.----.---- Compás 4/4 estándar
*------.--.------.--*------.--.------.--*------.--.------.--*------.--.------.-- Compás de 4/4 con "shuffle"
Los asteriscos determinan las negras (4 negras por cada compás de 4/4) y los puntos determinan las semicorcheas (4 semicorcheas por cada negra). El concepto es muy sencillo, aunque a la hora de implementarlo en MIDI hay que tener en cuenta algunos aspectos importantes.
Protocolo MIDI
El protocolo MIDI es un protocolo muy sencillo por el que se envían eventos e información musical. No es objetivo de este post el explicar el protocolo ni los mensajes MIDI (cualquier búsqueda sobre "midi protocol" en la red nos dará acceso a centenares de páginas donde lo explican muy bien) aunque sí nos centraremos en los mensajes que más nos interesan de cara a implementar nuestro shuffler.
Dentro de los mensajes MIDI hay unos especiales denominados de tiempo real que son transmitidos por los secuenciadores cuando están reproduciendo una secuencia MIDI pregrabada:
0xF8: "timing clock" se envía 24 veces por cada negra.
0xFA: "start" indica que se va a iniciar la reproducción de una secuencia. Este mensaje es seguido de forma inmediata por el primer 0xF8.
0xFB: "continue" indica que se reanuda la secuencia por donde se paró.
0xFC: "stop" indica que se para la secuencia.
Por tanto, si en nuestro secuenciador musical tenemos una canción con un tempo de 120 negras por minuto, al emitir dicha secuencia por un cable MIDI, de forma intercalada con los mensaje de activación y desactivación de las notas y demás, irán entremezclados mensajes 0xF8 a razón de 24 por cada negra, es decir:
$${{120 \times 24} \over 60} = 48\;mensajes/segundo$$
Nótese que la cantidad de mensajes 0xF8 enviados por unidad de tiempo no depende de la velocidad de transmisión MIDI, sino del tempo de la secuencia musical que se esté reproduciendo. Si cada vez que nos llegue un mensaje 0xF8 desde el secuenciador vamos contando de 0 a 23 dando la vuelta de nuevo a 0 cada vez que llegamos a 24 tenemos que los mensaje 0xF8 coinciden en el tiempo con las negras y semicorcheas de la forma que indica la siguiente tabla:
n s s s
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
En esta tabla se puede ver que la negra (el beat) coincide con el contador de mensajes 0xF8 recibidos a 0 mientras que las tres semicorcheas siguientes coinciden con ese mismo contador a 6, a 12 y a 18. Ahora tenemos una base de tiempo sólida que podemos aprovechar para implementar nuestro efecto shuffle: Lo que hay que hacer es atrasar en el tiempo los mensajes de "note on" y "note off" que lleguen entre el instante 6 y el 12 y entre el instante 18 y 0 de la siguiente negra.
n s s s
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
+--------> atrasar +--------> atrasar
Dicho atraso no puede ser tal que nuestro shuffler emita notas fuera de orden por lo que el retraso en el tiempo debe ser proporcional (una nota que llegue entre los instantes 6 y el 7 será atrasada más que una que llegue entre los instantes 9 y 10 pero la primera nunca debe emitirse depués de la segunda, debemos garantizar el orden de llegada de los eventos "note on" y "note off").
Algoritmo propuesto
El MIDI shuffler se plantea como un filtro MIDI, un dispositivo con una entrada MIDI y una salida MIDI que se intercala entre el secuenciador y los sintetizadores. La salida MIDI del secuenciador irá conectada a la entrada MIDI del shuffler y la salida MIDI del shuffler irá conectada a la entrada MIDI de los secuenciadores. A continuación se plantea una propuesta de pseudocódigo para el MIDI shuffler:
iniciarShuffler
estado := ESPERAR_START_MIDI
fin iniciarShuffler
getInstanteAtrasado(t)
ret := (tamSemicorchea - tamReducido) + ((t + tamReducido) / tamSemicorchea)
devolver ret
fin getInstanteAtrasado
byteMIDIRecibido(byte)
enviar := SÍ
si (estado = ESPERAR_START_MIDI) entonces
si (byte = 0xFA) entonces
colaRetraso.borrar()
estado := ESPERAR_PRIMER_CLOCK_MIDI
fin sin
en otro caso, si (estado = ESPERAR_PRIMER_CLOCK_MIDI) entonces
si (byte = 0xF8) entonces
estado := ESPERAR_CLOCK_MIDI
contadorReloj := 6
indiceSemicorchea := 0
timer.iniciar()
fin si
en otro caso, si (estado = ESPERAR_CLOCK_MIDI) entonces
si (byte = 0xF8) entonces
contadorReloj := contadorReloj - 1
si (contadorReloj = 0) entonces
si ((indiceSemicorchea = 0) ó (indiceSemicorchea = 2)) entonces
tamSemicorchea = timer.getValor()
tamReducido = (temSemicorchea * (100 - PERCENT)) / 100
fin si
contadorReloj := 6
indiceSemicorchea := (indiceSemicorchea + 1) mod 4
timer.parar()
timer.iniciar()
fin si
en otro caso, si (esEventoNota(byte) y ((indiceSemicorchea = 1) ó (indiceSemicorchea = 3)) entonces
t := getInstanteAtrasado(timer.getValor())
colaRetraso.meter({byte, t})
enviar := NO
en otro caso, si (byte = 0xFC)
estado := ESPERAR_START_MIDI
fin si
fin si
si (enviar = SÍ) entonces
enviar(byte)
fin si
fin byteMIDIRecibido
principal
siempre hacer
si ((indiceSemicorchea = 1) ó (indiceSemicorchea = 3)) entonces
t := timer.getValor()
mientras (colaRetraso.hayAlgo()) hacer
d := colaRetraso.getCabeza()
si (d.t <= t) entonces
colaRetraso.sacar()
enviar(d.byte)
en otro caso
salir del bucle
fin si
fin mientras
fin si
fin siempre
fin principal
Lo que hace el algoritmo es aprovechar el intervalo entre el midi clock 0 y el 5 para calcular el tiempo en unidades de timer que dura una semicorchea. El objeto "timer" es un timer de bastante resolución que se arranca en el instante 0 y se para en el instante 6. En ese instante 6, una vez parado el timer, se anota la cuenta del mismo como tamSemicorchea (para indicar que es el tamaño en ticks de nuestro contador de lo que dura una semicorchea) y se calcula tamReducido a partir del porcentaje de "shuffle" que queramos (un shuffle del 0% da un tamReducido = tamSemicorchea, mientras que un shuffle del 100% da un tamReducido = 0).
instante semicorchea acción
0 0 Iniciar timer de alta resolución
1
2
3
4
5
6 1 Anotar cuenta del timer, pararlo
7 y volver a iniciarlo. Encolar cualquier
8 evento "note on" o "note off" que llegue
9 en este intervalo calculando su instante
10 de emisión con una regla de tres.
11
12 2 La misma que la semicorchea 0
13
14
15
16
17
18 3 La misma que la semicorchea 1
19
20
21
22
23
Entre los instantes 6 y el 11 lo que se hace es encolar los eventos de "note on" y "note off" que vayan llegando calculándoles en el momento que llegan, en qué instante del tick del timer deben ser transmitidos haciendo una regla de tres (en getInstanteAtrasado) y metiendo cada una de estas parejas de valores (byte e instante que debe ser transmitido) en la cola "colaRetraso".
Lo mismo se hace para los instantes de tiempo 12 al 17 y 18 al 23, respectivamente.
Ya tenemos los eventos atrasados metidos en una cola (para garantizar que el orden de emisión sea el mismo que el de recepción), ahora lo que hay que hacer es emitirlos en el instante que corresponda. y de esto se encarga el procedimiento principal en su bucle infinito. Este procedimiento principal ejecuta un bucle infinito que lo que hace es inspeccionar si hay algo que enviar en la cola "colaRetraso", si hay algo que debe ser enviado (su instante de envío es menor o igual al valor actual del timer) lo envía y lo quita de la cola. El procedimiente byteMIDIRecibido es invocado cada vez que llega un byte por el puerto MIDI.
El circuito
El MIDI shuffler, como se comentó antes, hace de filtro MIDI con una entrada y una salida. La cantidad de efecto shuffle se controla mediante un potenciómetro conectado a una de las entradas analógicas del Arduino.
Con el potenciómetro al mínimo se aplica un efecto shuffle del 0% (sin efecto shuffle) mientras que con el potenciómetro al máximo se aplica un efecto shuffle del 50% (valores superiores al 50% genera unos resultados muy extremos).
Implementación en C++
A pesar de que en el algoritmo propuesto el procedimiento byteMIDIRecibido se supone que es invocado de forma asíncrona por el sistema cada vez que llega un byte por el puerto MIDI, lo cierto es que es más sencillo si en la rutina de interrupción de la UART encolamos los bytes MIDI que van llegando por la entrada MIDI y luego los vamos sirviendo en el bucle principal antes de comprobar el estado de la colaRetraso, haciéndolo de esta forma evitamos colisiones y la necesidad de hacer que colaRetraso sea reentrante.
int32_t MIDIShuffler::getDelayedInstant(int32_t sourceInstant) { return ((this->sixteenthNoteLength - this->reducedLength) + ((sourceInstant * this->reducedLength) / this->sixteenthNoteLength)); } void MIDIShuffler::byteReceived(uint8_t byte) { this->rxQueue.push(byte); } void MIDIShuffler::processRxByte(uint8_t byte) { bool send = true; uint8_t noChannelByte = byte & 0xF0; if (this->status == STATUS_WAIT_START_MIDI_CLOCK) { if (byte == 0xFA) { this->delayQueue.clear(); this->rxQueue.clear(); this->status = STATUS_WAIT_FIRST_MIDI_CLOCK; } } else if (this->status == STATUS_WAIT_FIRST_MIDI_CLOCK) { if (byte == 0xF8) { this->status = STATUS_WAIT_MIDI_CLOCK; this->clockCounter = CLOCK_PER_SIXTEENTH_NOTE; this->sixteenthNoteIndex = 0; this->timeCounter->start(); } } else if (this->status == STATUS_WAIT_MIDI_CLOCK) { if (byte == 0xF8) { this->clockCounter--; if (this->clockCounter == 0) { if ((this->sixteenthNoteIndex == 0) || (this->sixteenthNoteIndex == 2)) { this->sixteenthNoteLength = this->timeCounter->getValue(); this->reducedLength = (this->sixteenthNoteLength * (100 - this->percentProvider->getPercent())) / 100; } this->clockCounter = CLOCK_PER_SIXTEENTH_NOTE; this->sixteenthNoteIndex = (this->sixteenthNoteIndex + 1) & 3; // ... % 4 this->timeCounter->stop(); this->timeCounter->start(); } } else if ((noChannelByte < 0xA0) && ((this->sixteenthNoteIndex == 1) || (this->sixteenthNoteIndex == 3)) && !this->byPass) { DelayedMIDIByte d(this->getDelayedInstant(this->timeCounter->getValue()), byte); this->delayQueue.push(d); send = false; } else if (byte == 0xFC) this->status = STATUS_WAIT_START_MIDI_CLOCK; } if (send && (this->sender != NULL)) this->sender->sendByte(byte); } void MIDIShuffler::init(MIDISender &sender, PercentProvider &percentProvider, TimeCounter &timeCounter) { MIDIFilter::init(sender); this->percentProvider = &percentProvider; this->delayQueue.clear(); this->rxQueue.clear(); this->status = STATUS_WAIT_START_MIDI_CLOCK; this->timeCounter = &timeCounter; this->byPass = false; this->sixteenthNoteIndex = 0; } void MIDIShuffler::run() { if (this->rxQueue.hasElements()) { uint8_t byte = this->rxQueue.getHead(); this->processRxByte(byte); this->rxQueue.pop(); } if (((this->sixteenthNoteIndex == 1) || (this->sixteenthNoteIndex == 3)) && this->delayQueue.hasElements()) { int32_t t = this->timeCounter->getValue(); while (this->delayQueue.hasElements()) { DelayedMIDIByte d = this->delayQueue.getHead(); if (d.t <= t) { this->delayQueue.pop(); if (this->sender != NULL) this->sender->sendByte(d.byte); } else break; } } }
A continuación puede verse un vídeo con el MIDI shuffler en acción (obviamente, hay que poner el audio para que se oiga :-) )
Todo el código fuente puede descargarse de la sección soft.
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( 3 / 13814 )Las redes neuronales son un tópico que se ha vuelto a poner de moda gracias al concepto del "deep learning" y a la irrupción de las redes neuronales convolucionales, que han revolucionado, sobre todo, las técnicas de reconocimiento de imágenes. No vamos a llegar tan lejos: implementaremos un sencillo perceptrón multicapa (MLP) en un Arduino que permita a este aprender y predecir el comportamiento de un usuario que acciona unos botones. No es un juego especialmente entretenido pero sirve como prueba de concepto de la implementación de redes neuronales artificiales sobre sistemas embebidos.
Perceptrón multicapa (MLP)
En un post anterior se explicaron los fundamentos teóricos de los perceptrones multicapa. Tenemos un conjunto de neuronas dispuestas en cascada, las de un extremo son las neuronas de entrada y las del otro extremo son las neuronas de salida.
Cada capa de neuronas está conectada con la capa inmediatamente anterior mediante un conjunto de pesos sinápticos que determinan el nivel de influencia de cada neurona de la capa (i-1)-ésima con cada neurona de la capa i-ésima. Los valores de entrada pasan por la matriz de pesos sinápticos que une la capa de entrada con la primera capa intermedia y determinan los valores de las neuronas de la primera capa oculta, a continuación este primera capa oculta propaga sus valores a través de otra matriz de pesos que une dicha capa con la siguiente y así sucesivamente hasta llegar a la capa de salida. La salida del perceptrón multicapa serán las salidas de las neuronas de la última capa.
La salida de cada neurona oculta y de salida viene determinada por:
$$suma^{o}_{pk} = \sum_{j=1}^{L}w_{kj}^{o}y_{pj} + \theta_{k}^{o}$$
$$y_{pk}=f_{k}^{o}(suma^{o}_{pk})$$
Siendo:
$w_{kj}^{o}$ el peso sináptico de la neurona $j$ de la capa anterior sobre la neurona $k$ de la capa actual.
$f$ la función de activación (en este caso la sigmoide).
$$f(x) = {{1} \over {1+e^{-x}}}$$
Cada neurona puede representarse de forma gráfica de la siguiente manera:
Por ejemplo, un perceptrón multicapa con 6 entradas, 2 salidas y una capa ocultas con 4 neuronas tendrá la siguiente configuración:
A0 = {a01, a02, a03, a04, a05, a06} <-- capa de entrada
W0,1 = { <-- pesos sinápticos entre la entrada y la capa oculta
w11 w12 w13 w14 w15 w16
w21 w22 w23 w24 w25 w26
w31 w32 w33 w34 w35 w36
w41 w42 w43 w44 w45 w46
}
A1 = {a11 a12 a13 a14} <-- capa oculta
X1,2 = { <-- pesos sinápticos entre la capa oculta y la salida
x11 x12 x13 x14
x21 x22 x23 x24
}
A2 = {a21 a22} <-- capa de salidaRecomiendo leer el post anterior donde se explica de forma más pormenorizada tanto el perceptrón multicapa como el algoritmo de aprendizaje "backpropagation", el más utilizado y el usado en esta prueba de concepto.
Juego de predicción
Se plantea un sencillo juego de predicción en el que el Arduino deberá aprenderse los movimientos del usuario que interactúa con él. Se disponen 4 pulsadores y 4 leds (a cada led le corresponde un botón y viceversa). Se incluyen además dos pulsadores adicionales etiquetados como "ENTRENAR" y "EVALUAR" y dos leds adicionales etiquetados como "ENTRENAMIENTO TERMINADO" y "EVALUANDO". Se implementa una red neuronal de tipo MLP con 8 entradas, una capa oculta de 8 neuronas y una capa de salida de 4 neuronas. 4 de las neuronas de entrada recogen las entradas de los 4 pulsadores (1 = pulsado, 0 = no pulsado) y las 4 neuronas de entrada restantes reciben el valor de los pulsadores del instante anterior (es una forma de dar memoria a la red), las cuatro neuronas de salida están conectadas a los 4 leds de salida (encendido = salida de la neurona mayor que 0.5, apagado = en caso contrario).
En modo evaluación el Arduino cada vez que detecta la pulsación de un botón aplica los valores correspondientes a las 8 neuronas de entrada, evalúa el MLP y emite el valor de las 4 neuronas de salida a los leds. En modo entrenamiento la red se va entrenando a sí misma observando las pulsaciones del usuario. La mecánica del "juego" es la siguiente:
1. Nada más arrancar el Arduino, inicia en modo EVALUACIÓN e ilumina el led "EVALUANDO". En este modo cada vez que se pulsa uno de los 4 pulsadores de entrada se evalúa la red neuronal y se emite la salida correspondiente. Como inicialmente los pesos sinápticos son aleatorios, los leds actuarán de forma aleatoria en función de la entrada.
2. Cuando queramos entrenar la red neuronal, pulsamos "ENTRENAR". Esto hace que el led "EVALUANDO" se apague para indicar que estamos en modo aprendizaje y la red entra en modo de aprendizaje. El usuario empieza a accionar los pulsadores en el orden que quiera, se asume una secuencia de cuatro pulsaciones de tal manera que cada cuatro pulsaciones, la red es entrenada para que sea capaz de aprenderse la secuencia. Cada vez que terminamos de introducir una secuencia (cuatro pulsaciones), la red es entrenada con la secuencia introducida y se ilumina el led "ENTRENAMIENTO TERMINADO", si seguimos repitiendo la secuencia afianzaremos el aprendizaje de la red neuronal.
3. Una vez que el led "ENTRENAMIENTO TERMINADO" se haya iluminado al menos una vez podemos volver al modo de evaluación accionando el pulsador "EVALUAR". Al entrar de nuevo en el modo de evaluación se iluminará el led "EVALUANDO". Tras el entrenamiento la red tendrá los pesos sinápticos modificados por el aprendizaje de tal manera que intentará predecir qué pulsador accionará el jugador en cada momento.
Veamos un ejemplo:
1. Encendemos y esperamos a que se encienda el led "EVALUANDO". Comprobamos que al accionar cualquiera de los 4 pulsadores los leds de salida se encienden y se apagan sin criterio, de forma aleatoria debido a los pesos sinápticos aleatorios.
2. Pulsamos "ENTRENAR" y esperamos a que se apague el led "EVALUANDO". Ahora estamos en modo aprendizaje (o entrenamiento).
3. Nos inventamos una secuencia, por ejemplo {1, 4, 2, 3} y vamos accionando los pulsadores de entrada en ese orden. Cuando pulsemos el último número de la secuencia, el 3, se aplicará el algoritmo de aprendizaje para entrenar la red neuronal y una vez termine, se encenderá el led "ENTRENAMIENTO TERMINADO".
4. Llegamos a este punto podemos seguir entrenando la red con la misma secuencia (volvemos a introducir la secuencia en orden {1, 4, 2, 3}, al pulsar el 1 se apagará el led "ENTRENAMIENTO TERMINADO" y volverá a encenderse cuando pulsemos el 3 para indicar que se ha realizado otro entrenamiento) o podemos pasar al modo de evaluación.
5. Para pasar al modo de evaluación pulsamos "EVALUAR". Esto hará que el led "EVALUANDO" se encienda y ahora podremos probar la red entrenada.
6. En modo evaluación lo que hace la red es tratar de adivinar qué pulsador se accionará en el siguiente movimiento. Por ejemplo en nuestro caso, para la secuencia {1, 4, 2, 3}, ocurrirá lo siguiente:
pulsamos 1 --> se enciende el 4
pulsamos 4 --> se enciende el 2
pulsamos 2 --> se enciende el 3
pulsamos 3 --> se enciende el 1
Como se puede comprobar, la red neuronal se ha aprendido nuestros movimientos correctamente.
Implementación
A continuación puede verse el diagrama de clases utilizado en la implementación del juego de predicción en C++:
Se trata de una estructura de código muy sencilla. La clase PredictorGame mantiene la máquina de estados principal del juego, lee los pulsadores, controla las luces e incluye también la red neuronal (ExampleMLP). La clase MLP es una clase abstracta que permite definir mediante la implementación de varios de sus métodos virtuales puros la topología de un perceptrón multicapa cualquiera (entradas, capas ocultas y neuronas de salida). La clase ExampleMLP es una especialización de MLP con la topología descrita: 8 entradas, 1 capa intermedia oculta con 8 neuronas y una capa de salida de 4 neuronas.
#include <time.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> #include "MultilayerPerceptron.H" using namespace avelino; using namespace std; float MultilayerPerceptron::getNetValue(uint8_t numNeuronsPrevLayer, uint8_t currentLayer, uint8_t n) { float acc = 0; for (uint8_t p = 0; p < numNeuronsPrevLayer; p++) { float x = this->getNeuronValue(currentLayer - 1, p); float w = this->getInputWeight(currentLayer, p, n); acc = acc + (x * w); } return acc; } void MultilayerPerceptron::evaluate() { uint8_t numLayers = this->getNumHiddenLayers() + 1; for (uint8_t l = 1; l <= numLayers; l++) { uint8_t numNeurons = this->getNumNeurons(l); uint8_t numNeuronsPrevLayer = this->getNumNeurons(l - 1); for (uint8_t n = 0; n < numNeurons; n++) { float acc = this->getNetValue(numNeuronsPrevLayer, l, n); float y = 1.0 / (1.0 + exp(-acc)); this->setNeuronValue(l, n, y); } } } void MultilayerPerceptron::setTrainRate(float r) { this->trainRate = r; } float MultilayerPerceptron::getTrainRate() { return this->trainRate; } float MultilayerPerceptron::getEstimatedError(uint8_t layer, uint8_t n) { uint8_t numLayers = this->getNumHiddenLayers() + 1; float ret = 0; if (layer == numLayers) { float out = this->getNeuronValue(layer, n); ret = (this->getDesiredOutput(n) - out); } else { uint8_t numNeuronsNextLayer = this->getNumNeurons(layer + 1); for (uint8_t k = 0; k < numNeuronsNextLayer; k++) { float e = this->getNeuronErrorValue(layer + 1, k); float w = this->getInputWeight(layer + 1, n, k); ret += (e * w); } } return ret; } void MultilayerPerceptron::backpropagate(uint8_t layer, float *totalError) { if (totalError != NULL) *totalError = 0; uint8_t numNeurons = this->getNumNeurons(layer); for (uint8_t n = 0; n < numNeurons; n++) { float out = this->getNeuronValue(layer, n); float aux = out * (1 - out); float error = aux * this->getEstimatedError(layer, n); this->setNeuronErrorValue(layer, n, error); if (totalError != NULL) *totalError += (error * error); } uint8_t numNeuronsPrevLayer = this->getNumNeurons(layer - 1); for (uint8_t n = 0; n < numNeurons; n++) { float e = this->getNeuronErrorValue(layer, n); for (uint8_t k = 0; k < numNeuronsPrevLayer; k++) { float y = this->getNeuronValue(layer - 1, k); float w = this->getInputWeight(layer, k, n); w = w + (this->trainRate * e * y); this->setInputWeight(layer, k, n, w); } } } void MultilayerPerceptron::train(uint8_t times, float &totalError) { while (times > 0) { uint8_t outputLayer = this->getNumHiddenLayers() + 1; for (uint8_t l = outputLayer; l >= 1; l--) { float *e = (l == outputLayer) ? &totalError : NULL; this->backpropagate(l, e); } this->commitInputWeights(); times--; } } void MultilayerPerceptron::initWithRandomWeights() { srand(time(NULL)); uint8_t n = this->getNumHiddenLayers() + 1; for (uint8_t l = 1; l <= n; l++) { uint8_t prevLayerNumNeurons = this->getNumNeurons(l - 1); uint8_t currentLayerNumNeurons = this->getNumNeurons(l); for (uint8_t from = 0; from < prevLayerNumNeurons; from++) { for (uint8_t to = 0; to < currentLayerNumNeurons; to++) { float v = ((2.0f * rand()) / RAND_MAX) - 1.0f; this->setInputWeight(l, from, to, v); } } } this->commitInputWeights(); } void MultilayerPerceptron::setMaxError(float v) { this->maxError = v; } float MultilayerPerceptron::getMaxError() { return this->maxError; }
El código fuente está organizado de tal manera que el que es independiente de la plataforma (clases MultilayerPerceptron, ExampleMultilayerPerceptron, KeyReader, Leds y PredictorGame) se encuentra en la carpeta raiz. El código dependiente de cada plataforma se encuentra en la carpeta correspondiente a dicha plataforma: dentro de la carpeta "linux" están las clases "LinuxKeyReader" y "LinuxLeds" así como el fichero "main.cc" para Linux y dentro de la carpeta "arduino" están las clases "RealKeyReader" y "RealLeds" así como el fichero "main.cc" para Arduino. En este caso concreto, las clases "RealKeyReader" y "RealLeds" están especializadas para el patillaje del Arduino Leonardo pero son fácilmente adaptables a otros modelos de Arduino.
Para compilar la versión "linux" basta con entrar en la carpeta "linux" y hacer "make" mientras que para compilar la versión "arduino" hay que ir a la carpeta "arduino", editar el fichero "Makefile", poner los valores adecuados para la carpeta donde está instalado el IDE de Arduino ("ARDUINO_FOLDER") y el puerto serie donde se conecta el Arduino ("SERIAL") y a continuación hacer "make" para generar el fichero "main.hex" y "make install" para tostarlo en el Arduino.
A nivel eléctrico se trata de un circuito sumamente sencillo: 6 pulsadores, con su pequeña red antirrebote cada uno, y 6 leds.
Todo el código está disponible en la sección soft.
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( 3 / 5072 )Las FPGAs y los CPLDs son circuitos integrados digitales programables a nivel hardware mediante algún tipo de lenguaje de descripción de hardware (VHDL, Verilog, SystemC, etc.). A lo largo de este post se desarrolla una primera toma de contacto con este tipo de integrados.
FPGA
La FPGA que se ha usado es una Xilinx Spartan 3E, que se puede encontrar en la placa Papilio One (http://papilio.cc). Esta placa es open hardware, con interface USB, memoria flash SPI para almacenar la configuración del hardware y con una buena relación calidad/precio (unos 38 dólares aproximadamente).
El entorno de desarrollo de Xilinx es un poco complejo (muchas opciones) pero se le coge el truco rápido. Es gratuito (aunque no es software libre) y muy fácil de instalar tanto en Windows como en Linux (no está para Mac). El entorno de desarrollo permite gestionar proyectos en VHDL o Verilog y generar al final los ficheros ".bit" que son los que se mandan a la FPGA.
De http://papilio.cc se descarga el Papilio Loader, un software open source que permite "tostar" los ficheros ".bit" en la placa FPGA y probar los diseños rápidamente. En la propia página del proyecto vienen varios tutoriales.
Prueba de concepto
Como prueba inicial se plantea un circuito conversor de binario (4 bits, del 0 al 9) a 7 segmentos mediante interfaz serie:
Se trata de un esquema muy sencillo: un registro de desplazamiento de 4 bits (que permite leer la entrada serie), un latch de 4 bits que carga el contenido del registro de desplazamiento y a la salida del latch una lógica combinatoria que convierte el número de 4 bits en una salida de 7 bits (para el display de 7 segmentos).
VHDL de la lógica combinatoria
VHDL es un lenguaje de descripción de hardware, no un lenguaje imperativo al uso. Cada línea de código describe un comportamiento y la única forma de realizar procesamiento secuencial es mediante la cláusula "process" ya que por defecto se ejecuta "todo a la vez".
Una lógica combinatoria está basada en puertas lógicas y las puertas lógicas se "ejecutan" siempre, no son como los biestables u otros elementos secuenciales. Para la lógica combinatoria de conversión binario a 7 segmentos se puede utilizar la sentencia WHEN...ELSE:
B(0) <= '1' when ((x = "0000") or (x = "0001") or (x = "0011") or (x = "0100") or (x = "0101") or (x = "0110") or (x = "0111") or (x = "1000") or (x = "1001")) else '0'; B(1) <= '1' when ((x = "0000") or (x = "0010") or (x = "0011") or (x = "0101") or (x = "0110") or (x = "1000") or (x = "1001")) else '0'; B(2) <= '1' when ((x = "0000") or (x = "0010") or (x = "0110") or (x = "1000")) else '0'; B(3) <= '1' when ((x = "0000") or (x = "0010") or (x = "0011") or (x = "0101") or (x = "0110") or (x = "0111") or (x = "1000") or (x = "1001")) else '0'; B(4) <= '1' when ((x = "0000") or (x = "0001") or (x = "0010") or (x = "0011") or (x = "0100") or (x = "0111") or (x = "1000") or (x = "1001")) else '0'; B(5) <= '1' when ((x = "0000") or (x = "0100") or (x = "0101") or (x = "0110") or (x = "1000") or (x = "1001")) else '0'; B(6) <= '1' when ((x = "0010") or (x = "0011") or (x = "0100") or (x = "0101") or (x = "0110") or (x = "1000") or (x = "1001")) else '0';
Como se puede apreciar en este caso, las 7 líneas de código debe "ejecutarse" de forma concurrente. Dicho de otra forma: se describen 7 circuitos combinacionales que deben implementarse en paralelo.
En este caso x es la salida del latch mientras que B es la salida de la FPGA que está conectada al display de 7 segmentos. En este caso se ha usado un display de cátodo común por lo que para encender un segmento del display hay que emitir un ‘1’ en la salida correspondiente.
VHDL de la lógica secuencial
La lógica secuencial se divide en la lógica del registro de desplazamiento que se ha implementado utilizando el clásico modelo RTL:
d_reg <= data_in & q_reg(3 downto 1); --d_reg es q_reg desplazado concatenado con el bit que hay en data_in process(clock_in) --el proceso se activa cuando clock_in cambia begin if (rising_edge(clock_in)) then --cuando hay un flanco de subida q_reg <= d_reg; --se carga d_reg en q_reg end if; end process;
Y la lógica del latch de 4 bits, que se encarga de cargar el registro de desplazamiento (q_reg) en la señal de entrada de la lógica combinatoria para la salida de 7 segmentos (x), y que también se ha implementado utilizando el modelo RTL:
process(latch_in) --el proceso se activa cuando latch_in cambia begin if (rising_edge(latch_in)) then --cuando hay un flanco de subida x <= q_reg; --se carga q_reg en x end if; end process;
En este caso las acciones a realizar no se hacen "siempre" sino que dependen de otras señales (clock_in y latch_in) y debe hacerse una evaluación secuencial (si ocurre esto entonces aquello), por eso se utilizan bloques "process". Nótese que ambos bloques "process" se "ejecutan" en paralelo.
VHDL completo
El código VHDL completo, incluyendo la arquitectura y el port queda como sigue:
library IEEE; use IEEE.STD_LOGIC_1164.ALL; use IEEE.STD_LOGIC_ARITH.ALL; use IEEE.STD_LOGIC_UNSIGNED.ALL; entity SimpleShiftRegister is port ( clock_in : in std_logic; data_in : in std_logic; latch_in : in std_logic; B : out std_logic_vector(6 downto 0) ); end SimpleShiftRegister; architecture behavioral of SimpleShiftRegister is signal d_reg : std_logic_vector(3 downto 0); signal q_reg : std_logic_vector(3 downto 0); signal x : std_logic_vector(3 downto 0); begin d_reg <= data_in & q_reg(3 downto 1); B(0) <= '1' when ((x = "0000") or (x = "0001") or (x = "0011") or (x = "0100") or (x = "0101") or (x = "0110") or (x = "0111") or (x = "1000") or (x = "1001")) else '0'; B(1) <= '1' when ((x = "0000") or (x = "0010") or (x = "0011") or (x = "0101") or (x = "0110") or (x = "1000") or (x = "1001")) else '0'; B(2) <= '1' when ((x = "0000") or (x = "0010") or (x = "0110") or (x = "1000")) else '0'; B(3) <= '1' when ((x = "0000") or (x = "0010") or (x = "0011") or (x = "0101") or (x = "0110") or (x = "0111") or (x = "1000") or (x = "1001")) else '0'; B(4) <= '1' when ((x = "0000") or (x = "0001") or (x = "0010") or (x = "0011") or (x = "0100") or (x = "0111") or (x = "1000") or (x = "1001")) else '0'; B(5) <= '1' when ((x = "0000") or (x = "0100") or (x = "0101") or (x = "0110") or (x = "1000") or (x = "1001")) else '0'; B(6) <= '1' when ((x = "0010") or (x = "0011") or (x = "0100") or (x = "0101") or (x = "0110") or (x = "1000") or (x = "1001")) else '0'; process(clock_in) begin if (rising_edge(clock_in)) then q_reg <= d_reg; end if; end process; process(latch_in) begin if (rising_edge(latch_in)) then x <= q_reg; end if; end process; end behavioral;
Tras compilar y sintetizar este código, la implementación eléctrica generada es la siguiente:
Como se puede ver, tanto el registro de desplazamiento como el latch se implementa mediante biestables D mientras que la lógica combinatoria de conversión de binario a 7 segmentos se implementa mediante LUTs (Look Up Tables), en lugar de mediante puertas lógicas. Esta forma de implementar lógica combinatoria es muy habitual en las FPGAs y los CPLDs.
Conexión con el Arduino
La FPGA funciona a 3.3 voltios mientras que el Arduino funciona a 5 voltios. Es necesario, por tanto adaptar los voltajes. En este caso concreto todas las señales salen del Arduino y entran en la FPGA por lo que se ha optado por hacer una adaptación de voltaje sencilla basada en transistores.
En el Arduino la función encargada de enviar un valor al display de 7 segmentos deberá colocar los datos de forma serie a través del pin data_in usando como reloj clock_in. Se activará latch_in cuando se desee mostrar en el display el valor cargado en el registro de desplazamiento. Obsérvese que al hacer la conversión de voltajes utilizando transistores NPN en configuración de emisor común, la lógica debe ser negada, es decir, para emitir un 1 de 3.3 voltios, emitimos un 0 de 5 voltios y para emitir un 0 de 3.3 voltios, emitimos un 1 de 5 voltios:
const int CLK_PIN = 0; const int DATA_PIN = 1; const int LATCH_PIN = 2; #define ONE LOW #define ZERO HIGH void byteOut(unsigned char v) { for (unsigned char i = 0; i < 4; i++) { if ((v & 1) != 0) digitalWrite(DATA_PIN, ONE); else digitalWrite(DATA_PIN, ZERO); delay(1); digitalWrite(CLK_PIN, ONE); delay(1); digitalWrite(CLK_PIN, ZERO); delay(1); v = v >> 1; } digitalWrite(LATCH_PIN, ONE); delay(1); digitalWrite(LATCH_PIN, ZERO); delay(1); }
A continuación puede verse un vídeo con el invento en funcionamiento:
Algunos enlaces para empezar con VHDL (en español)
Lista de reproducción de YouTube del profesor Carlos Fajardo sobre VHDL - Vídeos muy amenos y fáciles de seguir.
Libro online "Programación en VHDL" - Muy buen libro, aunque le echo en falta más ejemplos y ejercicios.
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( 3 / 2918 )La utilización de lógica borrosa o difusa (“fuzzy”) para el control de procesos permite abordar este tipo de problemas desde una perspectiva más "humana" ya que las reglas de la lógica borrosa son enunciados fácilmente comprensibles por una persona ajena a la teoría del control y su ajuste es más intuitivo que en el caso de controladores más "puros" como el PID. A lo largo de este post se abordará el control de velocidad de un sencillo motor DC mediante lógica borrosa utilizando sólo un puñado de reglas.
El problema
Se parte de un lazo de control estándar, el mismo que se utilizó cuando se implementó el control PID:
La velocidad se lee mediante un sencillo encoder compuesto por un disco pintado mitad de blanco y mitad de negro y por un sensor infrarrojo de tipo reflexivo (el CNY70, de los que suelen usarse en robots siguelineas).
El motor es accionado a través de una de las salidas PWM del microcontrolador mediante un transistor NPN de potencia.
El esquema es exactamente el mismo que el utilizado en el post anterior.
Lectura de la velocidad angular
Para leer la velocidad angular se conecta la salida del sensor infrarrojo reflexivo (en concreto la salida del inversor schmitt) a una entrada de interrupción externa del microcontrolador y se programa dicha interrupción externa para que se dispare en uno de los flancos (subida o bajada, pero no en ambos a la vez). De esta forma y al estar el disco pintado mitad negro y mitad blanco, cada interrupción se corresponderá con una vuelta del eje de rotación.
float RPMReader::rpm; void RPMReader::init() { DDRD &= 0xFE; // PD0 as input cli(); EICRA = (1 << ISC01) | (1 << ISC00); // external INT0 EIMSK = (1 << INT0); sei(); Chronometer::init(); Chronometer::microseconds = 0; } void RPMReader::__isr() { uint32_t delta = Chronometer::microseconds; Chronometer::microseconds = 0; if (delta > 0) rpm = (((float) 1) / delta) * 60000000; EIFR |= (1 << INTF0); } ISR(INT0_vect) { RPMReader::__isr(); }
Cada vez que se ejecuta la interrupción (da una vuelta el eje de rotación) se obtiene la cantidad de microsegundos que han pasado desde la anterior vuelta y se calcula la velocidad angular:
uint32_t delta = Chronometer::microseconds; Chronometer::microseconds = 0; if (delta > 0) rpm = (((float) 1) / delta) * 60000000;
Señal PWM de salida
La salida del controlador borroso no es en este caso directamente el valor absoluto PWM, sino el "incremento" (o una especie de derivada) de dicho valor PWM. Esto simplifica el diseño del controlador borroso pero complica la etapa de salida, ya que hay que poner un "integrador" a la salida del controlador que convierta los incrementos PWM en valores absolutos PWM.
Afortunadamente este "integrador" no es más que un acumulador en el que se van sumando, en cada iteración, los incrementos que emite el controlador borroso. Es esta suma la que se emite como PWM para accionar el motor.
SpeedDeltaFuzzyValueWriter::SpeedDeltaFuzzyValueWriter() { this->sum = 0; } void SpeedDeltaFuzzyValueWriter::setValue(float v) { this->sum += v; if (this->sum > 255) this->sum = 255; else if (this->sum < 0) this->sum = 0; uint8_t aux = (uint8_t) this->sum; PWM::setPB7Value(aux); }
Control borroso
Para realizar el controlador se plantea como variable de entrada al mismo el error de la velocidad de rotación (deseada - actual) en revoluciones por minuto (RPM) y como variable de salida, el incremento (una especie de derivada) del ciclo de trabajo de la señal PWM que alimenta al motor DC. Se definen unos sencillos conjuntos borrosos asociados a cada una de estas dos variables:
Mientras que las reglas de lógica borrosa que se van a utilizar son las siguientes:
SI (error ES error negativo) ENTONCES salida ES decrementar velocidad
SI (error ES sin error) ENTONCES salida ES mantener velocidad
SI (error ES error positivo) ENTONCES salida ES incrementar velocidad
Como puede apreciarse, las reglas son sencillas y fáciles de ajustar, de recordar y de mantener. Además, el hecho de que la variable de salida sea un incremento en lugar de un valor absoluto simplifica enormemente las reglas y los conjuntos.
Ejemplo 1
Supongamos que queremos alcanzar una velocidad de 3000 RPM y que la velocidad actual medida por el sensor de velocidad es de 2000 RPM, el error será, por tanto de 1000 RPM (consigna - valor real). Lo primero que se hace es “borrosificar” o “fuzzyficar” esta lectura:
Para la expresión “(error ES error negativo)” se calcula el grado de pertenencia de 1000 RPM al conjunto borroso “error negativo”, para la expresión “(error ES sin error)” se calcula el grado de pertenencia de 1000 RPM al conjunto borroso “sin error” y para la expresión “(error ES error positivo)” se calcula el grado de pertenencia de 1000 RPM al conjunto borroso “error positivo”:
Como se puede ver:
$$\mu_{error \space negativo}(1000)=0$$
$$\mu_{sin \space error}(1000)=0$$
$$\mu_{error \space positivo}(1000)=1$$
Por lo tanto, para la salida:
$$\mu_{decrementar \space velocidad}(\Delta PWM)=0$$
$$\mu_{mantener \space velocidad}(\Delta PWM)=0$$
$$\mu_{incrementar \space velocidad}(\Delta PWM)=1$$
A continuación se calcula mediante el método de la media ponderada de centros, el valor de la salida:
$$\Delta PWM={0·C_{dec. \space velocidad}+0·C_{mant. \space velocidad}+1·C_{inc. \space velocidad} \over 0+0+1}=C_{inc. \space velocidad}=20$$
En este caso el resultado el directamente el centro del conjunto borroso “incrementar velocidad”, que vale 20, con lo que incrementamos la velocidad.
Ejemplo 2
Supongamos ahora que queremos alcanzar la misma velocidad de 3000 RPM y que la velocidad actual medida por el sensor de velocidad es de 3050 RPM, el error será, por tanto de -50 RPM (consigna - valor real). Lo primero que se hace de nuevo es “borrosificar” o “fuzzyficar” esta lectura:
Se calculan los diferentes grados de pertenencia:
Como se puede ver:
$$\mu_{error \space negativo}(-50)=0.5$$
$$\mu_{sin \space error}(-50)=0.5$$
$$\mu_{error \space positivo}(-50)=0$$
Por lo tanto, para la salida:
$$\mu_{decrementar \space velocidad}(\Delta PWM)=0.5$$
$$\mu_{mantener \space velocidad}(\Delta PWM)=0.5$$
$$\mu_{incrementar \space velocidad}(\Delta PWM)=0$$
A continuación se calcula mediante el método de la media ponderada de centros, el valor de la salida:
$$\Delta PWM={0.5·C_{dec. \space velocidad}+0.5·C_{mant. \space velocidad}+0·C_{inc. \space velocidad} \over 0.5+0.5+0}=-10$$
Un valor de -10 en el incremento del PWM, disminuye dicho valor y, por tanto, hace que se disminuya la velocidad del motor.
En condiciones ideales, con una entrada de error de 0 RPM tendríamos:
$$\mu_{error \space negativo}(0)=0$$
$$\mu_{sin \space error}(0)=1$$
$$\mu_{error \space positivo}(0)=0$$
Por lo tanto, para la salida:
$$\mu_{decrementar \space velocidad}(\Delta PWM)=0$$
$$\mu_{mantener \space velocidad}(\Delta PWM)=1$$
$$\mu_{incrementar \space velocidad}(\Delta PWM)=0$$
Y haciendo la “desborrosificación” o “defuzzyficación” nos sale:
$$\Delta PWM={0·C_{dec. \space velocidad}+1·C_{mant. \space velocidad}+0·C_{inc. \space velocidad} \over 0+1+0}=C_{mant. \space velocidad}=0$$
Un incremento del valor PWM de 0, con lo que no cambiamos la velocidad del motor.
Para dotar al sistema de un comportamiento más estable, en los sistemas reales, suele tomarse también como entrada la derivada de la velocidad angular y establecer reglas que hagan variar el PWM en función de esta otra entrada. En este caso, por simplicidad, se ha optado por utilizar como entrada sólo la velocidad angular.
Implementación
La implementación se ha realizado en C++ y las clases definidas pueden dividirse en dos grupos: las que hacen de interfaz con hardware interno, entrada y salida (lectura del sensor de infrarrojos reflexivo para calcular la velocidad angular, salida PWM, timers, etc.) y las que forman parte del motor de inferencia borroso (expresiones, conjuntos borrosos, variables lingüísticas, reglas, etc.)
Diagrama de clases 1:
Diagrama de clases 2:
Los conjuntos borrosos (clase FuzzySet) se definen de forma trapezoidal:
En el caso concreto que nos ocupa los conjuntos estarán, por tanto, definidos así:
FuzzySet negativeError(-10000, -10000, -100, 0); FuzzySet noError(-100, 0, 0, 100); FuzzySet positiveError(0, 100, 10000, 10000); FuzzySet decreaseSpeed(-20, -20, -20, 0); FuzzySet keepSpeed(-20, 0, 0, 20); FuzzySet increaseSpeed(0, 20, 20, 20);
Cada regla de inferencia borrosa estará definida por un antecedente (objeto de clase FuzzyExpression o derivadas) y por un consecuente (objeto de clase FuzzyConsequent).
FuzzyController c;
c.addRule(
new FuzzyTerminalExpression(entrada1, conjunto1),
new FuzzyConsequent(salida1, conjunto3)
); // SI (entrada1 ES conjunto1) ENTONCES salida1 ES conjunto3
En el antecedente podemos hacer combinaciones “Y”, “O” y “NO” utilizando las clases FuzzyAndExpression, FuzzyOrExpression y FuzzyNotExpression respectivamente.
c.addRule(
new FuzzyAndExpression(
new FuzzyTerminalExpression(entrada1, conjunto1),
new FuzzyTerminalExpression(entrada2, conjunto2)
),
new FuzzyConsequent(salida1, conjunto3)
); // SI (entrada1 ES conjunto1) Y (entrada2 ES conjunto2) ENTONCES salida1 ES conjunto3
De esta forma podemos crear reglas de inferencia borrosa tan complejas como queramos. Se ha aprovechado, además, la capacidad que tiene C++ de redefinir operadores y se han usado los operadores “&&”, “||”, “!” y “%” como sinónimos de FuzzyAndExpression, FuzzyOrExpression, FuzzyNotExpression y FuzzyTerminalExpression, respectivamente:
FuzzyExpression &avelino::operator % (FuzzyValueReader &vr, FuzzySet &fs) { FuzzyExpression *ret = FuzzyTerminalExpression::getInstance(vr, fs); return *ret; } FuzzyExpression &avelino::operator && (FuzzyExpression &e1, FuzzyExpression &e2) { FuzzyExpression *ret = FuzzyAndExpression::getInstance(e1, e2); return *ret; } FuzzyExpression &avelino::operator || (FuzzyExpression &e1, FuzzyExpression &e2) { FuzzyExpression *ret = FuzzyOrExpression::getInstance(e1, e2); return *ret; } FuzzyExpression &avelino::operator ! (FuzzyExpression &e) { FuzzyExpression *ret = FuzzyNotExpression::getInstance(e); return *ret; }
Ahora se puede escribir la regla de ejemplo de antes “SI (entrada1 ES conjunto1) Y (entrada2 ES conjunto2) ENTONCES salida 1 ES conjunto3” de la siguiente manera:
c.addRule(
(entrada1 % conjunto1) && (entrada2 % conjunto2),
new FuzzyConsequent(salida1, conjunto3)
);
Como se puede apreciar, la sintaxis se vuelve más clara y las reglas son más fáciles de leer y de mantener. En el caso que nos ocupa las reglas se definen de la siguiente manera:
c.addRule(
rpmError % negativeError,
new FuzzyConsequent(speedDelta, decreaseSpeed)
);
c.addRule(
rpmError % noError,
new FuzzyConsequent(speedDelta, keepSpeed)
);
c.addRule(
rpmError % positiveError,
new FuzzyConsequent(speedDelta, increaseSpeed)
);
Finalmente, en el bucle principal de la aplicación lo único que se hace es iterar el motor de inferencia borroso (FuzzyController::run) cada 200 milisegundos:
DDRC |= 0x80; while (true) { if (Chronometer::microseconds2 > 200000) { // each 200ms Chronometer::microseconds2 = 0; c.run(); } // turn on led when set point reached if ((RPMReader::rpm >= SET_POINT_LOW) && (RPMReader::rpm <= SET_POINT_HIGH)) PORTC |= 0x80; else PORTC &= 0x7F; }
Todo el código fuente puede descargarse de la sección soft.
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( 3 / 3949 )Uno de los controladores más utilizados es el tipo PID (Proporcional Integral Derivativo). A lo largo de este post se abordará la implementación de uno en Arduino para controlar la velocidad de un motor DC.
Un poco de teoría
Cuando se quiere controlar una planta (en nuestro caso un motor DC), lo más habitual es plantear un lazo de control estándar:
La señal que entra al controlador es la medida que queremos que alcance la planta (llamada "consigna" en teoría del control) menos la medida de salida de la planta o, lo que es lo mismo, el error. El objetivo del controlador será siempre minimizar el valor absoluto del error (que tienda a cero) actuando sobre la entrada de la planta.
Para profundizar bien en el estudio del control habría que ver las transformadas de Laplace, los polos y los ceros del sistema y, para el caso discreto, lo ideal sería un estudio basado en la transformada Z estudiando también la ubicación de los polos y los ceros. Sin embargo me centraré en el estudio y la implementación de un controlador estándar: el PID.
PID
Los controladores PID son un tipo especial de controlador que combinan la acción proporcional (P), la acción integral (I) y la acción derivativa (D) sobre el error. Si a la entrada del controlador (el error) la llamamos e(t) y a la salida del controlador (la entrada a la planta, en nuestro caso la entrada al motor DC) la llamamos u(t). Podemos definir un PID de la siguiente manera:
$$u(t)=K_pe(t)+K_i\int_0^t e(\tau)d\tau+K_d{de(t) \over dt}$$
Como se puede apreciar, la acción proporcional vendrá determinada por la constante $K_p$, la acción integral por la constante $K_i$ y la acción derivativa por la constante $K_d$.
1. La acción proporcional $K_p$ hace que el error en estado estacionario tienda a cero.
2. La acción integral $K_i$, al ir sumando los errores en el tiempo (integral), tiende a eliminar el error estacionario generado por la acción proporcional.
3. La acción derivativa $K_d$ tiende a suavizar las variaciones en el error.
Para determinar los mejores valores de cada una de las constantes, lo ideal es realizar un estudio mediante la transformada de Laplace y buscar la mejor ubicación de los polos y los ceros del controlador PID para que se obtenga el comportamiento deseado.
En este caso se ha optado por realizar pruebas empíricas con valores bajos e ir probando diferentes combinaciones.
Implementación a nivel hardware
En este caso la planta es un motor DC del que vamos a controlar su velocidad mediante la salida PWM de 8 bits (0 a 255) y 5 voltios. La salida PWM la conectamos a la base de un transistor NPN de potencia (en este caso un BD139) montado en configuración de emisor común.
La lectura de la velocidad angular la hacemos utilizando un disco pintado (mitad blanco y mitad negro) conectado al eje de rotación (para que gire) y un sensor reflexivo de infrarrojos CNY70 (del que se utiliza en los robots sigue líneas).
Polarizando el fototransistor y el led infrarrojo y acondicionando la señal con una puerta inversora de tipo schmitt, ya tenemos un flanco de subida o de bajada por cada vuelta que da el disco.
Implementación a nivel software
Lectura de la velocidad
Para obtener la velocidad de rotación lo más eficiente es conectar la salida del inversor schmitt a una entrada del microcontrolador que permita disparar interrupciones internas en cada flanco de bajada o en cada flanco de subida. El pseudocódigo sería como sigue:
rpm = 0
anterior_t = 0
cada vez que haya un flanco de subida hacer:
t = microsegundos
incremento = t - anterior_t
rpm = (1 / incremento) * 60000000
anterior_t = t
fin interrupción
De esta forma tenemos los rpm a los que va el motor. Nótese que esta implementación no detecta la velocidad de 0 rpm. Para detectar la velocidad de 0 rpm habría que incluir un timer que, pasado un tiempo determinado, si no se produce la interrupción, asuma que el disco se ha parado (rpm = 0). En este caso no se ha implementado esta funcionalidad por simplicidad.
Implementación del PID
Para implementar el controlador PID en el Arduino (o en cualquier otro microcontrolador) tenemos que discretizar la ecuación diferencial que relaciona u(t) con e(t). Separamos primero dicha ecuación diferencial en partes:
$$u(t)=u_p(t)+u_i(t)+u_d(t)$$
Siendo:
$$u_p(t)=K_pe(t)$$
$$u_i(t)=K_i\int_0^t e(\tau)d\tau$$
$$u_d(t)=K_d{de(t) \over dt}$$
La discretización de $u_p(t)$ es trivial:
$$u_p[k]=K_pe[k]$$
La discretización de $u_i(t)$ asumiento un período de muestreo de $T$ lo suficientemente bajo la podemos calcular aproximando la integral mediante una suma de áreas de rectángulos de base $T$ y altura $e[k]$:
$$u_i[k]=K_i\sum_{n=0}^kTe[n]=K_iT\sum_{n=0}^ke[n]$$
De la misma manera, la discretización de $u_d(t)$ asumiento un período de muestreo $T$ lo suficientemente bajo la podemos calcular aproximando la derivada mediante el cálculo de la pendiente de la recta que une $e[k-1]$ con $e[k]$:
$$u_d[k]=K_d{e[k]-e[k-1] \over T}$$
El PID discretizado nos quedaría, por tanto, de la siguiente manera:
$$u[k]=K_pe[k]+K_iT\sum_{n=0}^ke[n]+K_d{e[k]-e[k-1] \over T}$$
Esta ecuación en diferencias finitas sí es fácilmente implementable en cualquier sistema. En el caso de Arduino podríamos realizar la siguiente implementación:
struct pid_controller { float kp, ki, kd; float delta; float sum; float prevError; }; void pid_controller_init(struct pid_controller &pid, float delta, float kp, float ki, float kd) { pid.delta = delta; pid.kp = kp; pid.ki = ki; pid.kd = kd; pid.sum = 0; pid.prevError = 0; } float pid_controller_run(struct pid_controller &pid, float error) { float p = pid.kp * error; pid.sum += error; float i = pid.ki * pid.delta * pid.sum; float d = pid.kd * (error - pid.prevError) / pid.delta; pid.prevError = error; return p + i + d; }
Las pruebas empíricas realizadas han dado muy buenos resultados para:
$$K_p=K_i=K_d=0.5$$
Con un período de muestreo $T=0.01$. La inicialización, por tanto, quedaría así:
void setup() { ... pid_controller_init(motor_pid_controller, 0.01, 0.5, 0.5, 0.5); ... }
Mientras que cada 10 milisegundos ($T=0.01$) habrá que calcular el PID:
const float SET_POINT = 1600; // consigna en rpm unsigned long last_t = 0; void loop() { unsigned long t = millis(); if ((t - last_t) >= 10) { float error = SET_POINT - current_rpm; float u = pid_controller_run(motor_pid_controller, error); analogWrite(PWM_OUTPUT, (int) u); last_t = t; } }
Pruebas realizadas
Para una consigna de 1000 rpm, la velocidad angular medida utilizando el PID es la siguiente (100ms entre medida y medida):
1013.99 rpm
1025.57 rpm
1013.03 rpm
1019.02 rpm
986.13 rpm
1003.95 rpm
1002.00 rpm
1013.65 rpm
999.07 rpm
977.64 rpm
1013.99 rpm
1037.49 rpm
1018.26 rpm
998.14 rpm
986.71 rpm
1006.64 rpm
1017.29 rpm
1017.43 rpm
Mientras que para una consigna de 1600 rpm, la velocidad angular medida fue la siguiente (100ms entre medida y medida):
1632.03 rpm
1591.01 rpm
1602.56 rpm
1583.28 rpm
1608.92 rpm
1578.28 rpm
1599.66 rpm
1583.61 rpm
1586.29 rpm
1616.21 rpm
1619.35 rpm
1594.39 rpm
1601.54 rpm
1581.11 rpm
1601.37 rpm
1606.68 rpm
1570.52 rpm
1602.39 rpm
El código fuente para Arduino puede descargarse de la sección soft.
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