Analizaremos dos aproximaciones polinómicas: La serie de Taylor y la aproximación de Padé (esta última se trata realmente de una aproximación racional).
Serie de Taylor
Lo primero que se le suele venir a uno a la cabeza cuando piensa en aproximaciones polinómicas suele ser la serie de Taylor, dicha serie es muy sencilla de calcular y genera una buena aproximación en el entorno de un punto. En este caso se ha optado por aproximar la función exponencial en el entorno de x=0:
$$e^{x} \simeq 1 + {x \over 1!} + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + ...$$
Esto nos da una muy buena aproximación, aunque para conseguir un error aceptable, es necesario calcular la serie de Taylor para un orden relativamente alto. El error con respecto a la función “exp” de la librería matemática de C comienza a ser asumible a partir del orden 6 trabajando en coma flotante.
Aproximación de Padé
La aproximación de Padé de orden (m, n) es la función racional:
$$R(x) = {p_0 + p_{1}x + p_{2}x^2 + ... + p_{m}x^m \over 1 + q_{1}x+ q_{2}x^2 + ... + q_{n}x^n}$$
Que cumple que:
$$f(0) = R(0)$$
$$f'(0) = R'(0)$$
$$f''(0) = R''(0)$$
$$...$$
$$f^{(m+n)}(0) = R^{(m+n)}(0)$$
El cálculo de los coeficientes de Padé no es trivial y existen varias técnicas para obtenerlos, como el algoritmo Epsilon de Wynn o el algoritmo euclídeo extendido para el cálculo del máximo común divisor. Por suerte, para la función exponencial, podemos consultar las tablas de Padé que ya se encuentran en internet calculadas para diferentes órdenes (valores de m y de n):
Aquí una tabla publicada en wikipedia.
Se ha optado en este caso por utilizar la aproximación de Padé de orden [3 / 3] (m = n = 3).
A continuación puede verse una implementación en C de ambas aproximaciones.
double taylor_exp(double x) { double ret = 0; int i; double num = 1; double den = 1; for (i = 0; i <= 6; i++) { ret += num / den; num *= x; den *= (i + 1); } return ret; } double pade_exp(double x) { double x2 = x * x; double x3 = x2 * x; double num = 1 + (x / 2) + (x2 / 10) + (x3 / 120); double den = 1 - (x / 2) + (x2 / 10) - (x3 / 120); return num / den; }
Como puede apreciarse, la serie de Taylor es de orden 6, mientras que la aproximación de Padé que se ha implementado es la de orden [3 / 3]. A continuación se reproduce la salida de una prueba de ambas funciones comparándolas con la función “exp” de la librería matemática:
# ./taylor_vs_pade_float
exp(0.250000):
exp() function : 1.2840254167
6th order taylor : 1.2840254042
3rd order pade : 1.2840254175
Como puede verse, la aproximación de Padé consigue un error comparable al de la serie de Taylor con muchas menos operaciones.
Utilizar aritmética de punto fijo
Ahora que están ambos algoritmos implementados en coma flotante, pasaremos el cálculo a aritmética de punto fijo en formato Q16.16 (más info sobre la notación Q). En el formato Q16.16 tenemos 16 bits para la parte entera y 16 bits para la parte fraccionaria, en total 32 bits.
typedef int32_t fixedpoint_t; #define FP_NEG(x) (-(x)) #define FP_ADD(x, y) ((x) + (y)) #define FP_SUB(x, y) ((x) - (y)) #define FP_MUL(x, y) ((int32_t) (((int64_t) (x)) * ((int64_t) (y)) >> 16)) #define FP_DIV(x, y) ((int32_t) ((((int64_t) (x)) << 16) / ((int64_t) (y)))) #define TO_FP(x) ((int32_t) ((x) << 16)) #define FROM_FP(x) ((x) >> 16) #define FP_FRACTIONAL_BITS 16
Las funciones anteriores puede ser ahora reescritas para utilizar el formato Q16.16:
fixedpoint_t taylor_exp(fixedpoint_t x) { fixedpoint_t ret = 0; int i; fixedpoint_t num = TO_FP(1); fixedpoint_t den = TO_FP(1); for (i = 0; i <= 6; i++) { ret = FP_ADD(ret, FP_DIV(num, den)); num = FP_MUL(num, x); den = FP_MUL(den, FP_ADD(TO_FP(i), TO_FP(1))); } return ret; } fixedpoint_t pade_exp(fixedpoint_t x) { fixedpoint_t x2 = FP_MUL(x, x); fixedpoint_t x3 = FP_MUL(x2, x); fixedpoint_t num = FP_ADD(TO_FP(1), FP_ADD(FP_DIV(x, TO_FP(2)), FP_ADD(FP_DIV(x2, TO_FP(10)), FP_DIV(x3, TO_FP(120))))); fixedpoint_t den = FP_ADD(FP_SUB(FP_DIV(x2, TO_FP(10)), FP_DIV(x3, TO_FP(120))), FP_SUB(TO_FP(1), FP_DIV(x, TO_FP(2)))); return FP_DIV(num, den); }
En este caso, realizando la misma prueba obtenemos resultados algo peores (debido a la pérdida de precisión inherente al uso del punto fijo) y, aunque para las dos aproximaciones obtenemos el mismo valor, la aproximación de Padé requiere menor cantidad de operaciones que la serie de Taylor.
# ./taylor_vs_pade_fixed
exp(0.250000):
exp() function : 1.2840254167
6th order taylor : 1.2839965820
3rd order pade : 1.2839965820
La aproximación de Padé, como ha podido verse, da mejores resultados que las series de Taylor como aproximación a la función exponencial, tanto desde el punto de vista de la eficiencia como de la precisión.
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( 3 / 1898 )La multitarea es la capacidad que tienen los sistemas de realizar varias tareas o procesos de forma simultánea en el tiempo. En el ámbito de los sistemas grandes o de sistemas embebidos avanzados esta capacidad viene dada normalmente por un pequeño sistema operativo encargado de gestionar dicha multitarea y de crear una capa de abstracción entre los procesos y el hardware (Linux embebido, eCos, Windows CE, etc.). En sistemas embebidos pequeños con procesadores más modestos (ya sea por anchura de bus, por RAM o por ambas razones) la cosa cambia: No tenemos sistema operativo y la multitarea debe ser gestionada por el propio software.
Vamos a asumir que todas las tareas que queremos planificar son igual de prioritarias y, por lo tanto, utilizaremos una planificación estilo round-robin (la más simple).
Multitarea apropiativa.
En la multitarea apropiativa, el proceso principal (voy a resistirme a utilizar el concepto de “sistema operativo”) se encarga de distribuir el tiempo de CPU entre las diferentes tareas. Si una tarea se cuelga o comienza a consumir muchos recursos, el resto de tareas no tiene por qué verse afectado ya que el software principal le quita el control de la CPU a las tareas sin importarle lo que estén haciendo en ese momento.
Es el tipo de multitarea ideal para evitar cuelgues completos del sistema y al mismo tiempo es el que más restricciones técnicas tiene.
- El sistema debe permitir “proteger” ciertas funciones o instrucciones para que no puedan ser ejecutadas por las tareas.
- Normalmente es necesario realizar manipulaciones de la pila del sistema.
- Se suelen utilizar timers para controlar el tiempo de CPU que tiene cada tarea.
Un esqueleto muy básico de lo que sería implementar multitarea apropiativa en un sistema embebido pequeño sería el siguiente:
class Tarea { public: bool enEjecucion; Estado estado; Tarea *siguiente; Tarea() { this->enEjecucion = false; }; virtual void run() = 0; }; Tarea *tareaInicial; Tarea *tareaActual = NULL; void leerEstadoActual(Tarea *t) { // se lee de la pila del sistema el estado de los registros en el momento de la interrupción y se guarda en t->estado } void escribirEstadoActual(Tarea *t) { if (!t->enEjecucion) { // hay que inicializar t->estado para que cada tarea tenga su propia pila y para que el contador de programa apunte a la primera instrucción de t->run t->enEjecucion = true; } // se sobreescribe en la pila del sistema el estado de los registros guardado en t->estado } void isr() { if (tareaActual != NULL) { leerEstadoActual(tareaActual); tareaActual = tareaActual->siguiente; } else tareaActual = tareaInicial; // este "if" sobra si las tareas se meten en una lista circular if (tareaActual == NULL) tareaActual = tareaInicial; escribirEstadoActual(tareaActual); } int main() { configurarISRTimer(isr); configurarYLanzarTimer(); while (true) ; return 0; }
En los comentarios de leerEstadoActual y escribirEstadoActual puede apreciarse el nivel de complejidad que requiere este tipo de multitarea: Es necesario conocer bien cómo funciona el mecanismo de interrupciones en el procesador en el que estamos así como controlar bien el layout de la memoria para cada tarea (pila, código, datos, etc.). En un sistema embebido normalmente no tenemos instrucciones protegidas con lo que nada impedirá que una de las tareas se “apropie” del ISR del timer que estamos utilizando para planificar y se nos fastidie el invento. Algo parecido ocurriría si alguna de las tareas decide deshabilitar la interrupción del timer: Se hará con el control completo de la CPU.
Multitarea cooperativa.
La multitarea cooperativa consiste en que cada tarea cede voluntariamente el procesador a otras tareas. Es el tipo de multitarea más sencillo de implementar, también puede ser más problemático ya que, si una tarea ocupa demasiado tiempo de procesador (ya sea por un error, por una condición mal evaluada o por una mala praxis de programación) el resto de tareas se ejecutarán, en el mejor de los casos, de forma menos eficiente y en el peor de los casos dejarán de ejecutarse. Sin embargo en los sistema embebidos pequeños normalmente podemos controlar bien todas las tareas que están en ejecución, y, si realizamos un buen diseño, podemos conseguir muy buenos resultados.
Una multitarea cooperativa con planificación simple estilo round-robin quedaría como sigue:
class Tarea { public: virtual void init() = 0; virtual void run() = 0; }; class Tarea1 : public Tarea { ... }; class Tarea2 : public Tarea { ... }; Tarea1 t1; Tarea2 t2; int main() { t1.init(); t2.init(); while (true) { t1.run(); t2.run(); } }
O, de forma más genérica, utilizando una lista simplemente enlazada de tareas:
class Tarea { public: Tarea *siguiente; virtual void init() = 0; virtual void run() = 0; }; ... int main() { Tarea *t = TAREA_INICIAL; while (t != NULL) { t->init(); t = t->siguiente; } while (true) { t = TAREA_INICIAL; while (t != NULL) { t->run(); t = t->siguiente; } } }
Como se puede ver no accedemos ni a la pila del sistema ni a características que requieran un conocimiento profundo de la arquitectura o del procesador que estamos utilizando. Esto hace que el código resultante sea más fácilmente portable a otros sistemas. Como contrapartida tenemos que asegurarnos de que ningún método “run” estrangule mucho al procesador.
Donde más podemos estrangular al resto de tareas es:
- En tiempos de espera para entrada/salida.
- En algoritmos pesados.
Desbloquear tareas de entrada y salida.
Las tareas que realizan entrada/salida suelen requerir de tiempos de espera para completarse. Pensemos en una comunicación serie a 9600 bps. Si tenemos que crear una clase UART con el método write una primera aproximación sería la siguiente:
void UART::write(uint8_t *data, uint16_t size) { for (uint16_t j = 0; j < size; j++) { while (!BUFFER_UART_TX_VACIO) ; BUFFER_UART = data[j]; } while (!BUFFER_UART_TX_VACIO) ; }
Llamar al método UART::write() desde el método run de alguna de las tareas estrangulará, claramente al resto de tareas ya que la tarea desde la que se llame no regresará del run hasta que, como mínimo, se envíe el buffer completo de bytes. Hay que tener en cuenta lo siguiente: Si queremos transmitir 64 bytes y nuestra UART manda un bit de start y otro de stop, realmente está enviando 10 bits por cada byte, lo que hacen un total 640 bits. A 9600 bps, 640 bits tardan 0.067 segundos. Es poco en términos humanos, pero si pensamos que un procesador RISC a 16 MHz (un PIC o un AVR de gama media) ejecuta 16 millones de instrucciones por segundo (una instrucción cada 0.0000000625 segundos), esperar 0.067 segundos supone un estrangulamiento del resto de tareas.
¿Qué hacemos en estos casos? Muy sencillo, utilizar un modelo de estados. Podemos crear una tarea adicional encargada de gestionar la transmisión UART y definirla así:
class UART : public Tarea { protected: uint8_t estado; uint8_t *bufferEnvio; uint16_t indiceBufferEnvio; uint16_t tamBufferEnvio; public: UART(); void init(); void run(); bool escribir(uint8_t *buffer, uint16_t tam); }; #define ESTADO_UART_OCIOSO 0 #define ESTADO_UART_ESPERAR_BUFFER_TX_VACIO 1 #define ESTADO_UART_ESCRIBIR_BYTE 2 UART::UART() { this->estado = ESTADO_UART_OCIOSO; this->bufferEnvio = NULL; } void UART::init() { this->bufferEnvio = NULL; this->estado = ESTADO_UART_OCIOSO; } void UART::run() { if (this->estado == ESTADO_UART_OCIOSO) { if (this->bufferEnvio != NULL) this->estado = ESTADO_UART_ESPERAR_BUFFER_TX_VACIO; } else if (this->estado == ESTADO_UART_ESPERAR_BUFFER_TX_VACIO) { if (BUFFER_UART_TX_VACIO) this->estado = ESTADO_UART_ESCRIBIR_BYTE; } else if (this->estado == ESTADO_UART_ESCRIBIR_BYTE) { if (this->indiceBufferEnvio == this->tamBufferEnvio) { this->estado = ESTADO_UART_OCIOSO; this->bufferEnvio = NULL; } else { BUFFER_UART = this->bufferEnvio[this->indiceBufferEnvio]; this->indiceBufferEnvio++; this->estado = ESTADO_UART_ESPERAR_BUFFER_TX_VACIO; } } } bool UART::escribir(uint8_t *buffer, uint16_t tam) { if (this->estado == ESTADO_UART_OCIOSO) { this->tamBufferEnvio = tam; this->indiceBufferEnvio = 0; this->bufferEnvio = buffer; return true; } else return false; }
Ahora incluimos nuestra tarea UART (que hemos heredado de la clase Tarea) como una tarea más a ser planificada: Invocamos su método “init” antes de comenzar y luego, en el bucle infinito invocamos su método “run” junto con el resto de métodos “run” del resto de tareas:
UART uart; int main() { t1.init(); t2.init(); uart.init(); while (true) { t1.run(); t2.run(); uart.run(); } }
A priori puede resultar un poco lioso desbloquear las tareas bloqueantes de esta forma, mediante máquinas de estados que generan más código, pero a la larga mejora el rendimiento general de la aplicación y es más sencillo adaptar el código para que funcione mediante interrupciones: con muy poco esfuerzo se puede adaptar el método “run” para convertirlo en una rutina de interrupción (ISR) que atienda la tranmisión UART.
Espero que este post haya servido de ayuda. Los últimos códigos fuente en C++ que he publicado para Arduino (el último de las luces del belén y el del tres en raya) utilizan multitarea cooperativa.
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